Artikel Kajian Pendidikan Matematika Menurut Teori Filsafat (BAB II)
PEMBAHASAN
A.
Definisi Filsafat
Secara etimologi, kata “filsafat/falsafah” merupakan
kata serapan dari bahasa Yunani artinya philosophia. Dalam bahasa Yunani, kata philosphia merupakan kata
majemuk dan berasal dari kata philia =
persahabatan, cinta) dan Sophia
= kebijaksanaan. Sehingga arti harafiahnya adalah seorang pecinta
kebijaksanaan.
Dalam membangun tradisi filsafat, banyak orang mengajukan pertanyaan yang sama, menanggapi,
dan meneruskan karya-karya pendahulunya sesuai dengan latar belakang budaya,
bahasa, bahkan agama tempat tradisi filsafat itu dibangun.
Secara Terminologi, Filsafat mempunyai banyak sekali definisi tergantung dari siapa
yang mendefinisikannya, bahkan setiap orang memiliki definisi tersendiri
mengenai filsafat. Dalam hal ini, akan dijelaskan beberapa definisi dari
beberapa ahli filsafat (filsuf), antara lain, sebagai berikut:
Para filsuf merumuskan pengertian filsafat sesuai
dengan kecenderungan pemikiran kefilsafatan yang dimilikinya. Seorang Plato
mengatakan bahwa : Filsafat adalah pengetahuan yang berminat mencapai pengetahuan
kebenaran yang asli. Sedangkan muridnya Aristoteles berpendapat kalau filsafat
adalah ilmu (pengetahuan) yang meliputi kebenaran yang terkandung didalamnya
ilmu-ilmu metafisika, logika, retorika, etika, ekonomi, politik, dan estetika.
Lain halnya dengan Al Farabi yang berpendapat bahwa filsafat adalah ilmu (
pengetahuan ) tentang alam maujud bagaimana hakikat yang sebenarnya. Berikut
ini disajikan beberapa pengertian Filsafat menurut beberapa para ahli:
Plato (428-348 SM) : Filsafat tidak lain dari pengetahuan
tentang segala yang ada. Aristoteles (384-322 SM) : Bahwa kewajiban filsafat adalah menyelidiki sebab dan
asas segala benda. Dengan demikian filsafat bersifat ilmu umum sekali. Tugas
penyelidikan tentang sebab telah dibagi sekarang oleh filsafat dengan ilmu.
Prof. Dr. H. Muhammad Arif Tiro, M.Pd., M.Sc., Ph.D,
berasal dari bahasa Yunani kata filo dan sofis, filo artinya cinta dalam arti yang seluas-luasnya yaitu
ingin dan karena ingin tahu lalu berupaya mencapai yang diinginkan itu. Sofis
artinya artinya kebijaksanaan, dari kata asing artinya pandai yaitu tahu dengan
mendalam.
Dari berapa pengertian filsafat secara terminologis di
atas, dapat ditegaskan bahwa filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki
dan memikirkan segala sesuatunya secara mendalam dan sungguh-sungguh, serta
radikal sehingga mencapai hakikat segala situasi tersebut.
B.
Pendidikan
1. Defenisi Pendidikan
Secara universal, pendidikan
dapat didefinisikan sebagai suatu cara untuk mengembangkan ketrampilan,
kebiasaan dan sikap-sikap yang diharapkan dapat membuat seseorang menjadi warga
negara yang baik, tujuannya untuk mengembangkan atau mengubah kognisi, afeksi
dan konasi seseorang.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, pendidikan
adalah proses pengubahan sikap dan tata laku seseorang atau kelompok orang
dalam usaha mendewasakan manusia melalui upaya pengajaran dan pelatihan,
proses, cara, perbuatan mendidik.
Menurut UU Sisdiknas No. 2 tahun 1989: “Pendidikan adalah usaha sadar untuk
menyiapkan peserta didik melalui kegiatan bimbingan, pengajaran, dan atau
latihan bagi peranannya di masa yang akan datang.
Menurut UU Sisdiknas No. 20 tahun 2003: “Pendidikan adalah usaha sadar dan
terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta
didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan
spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia,
serta ketrampilan yang diperlukan dirinya dan masyarakat.
Menurut Ki Hajar Dewantara, Pendidikan adalah segala daya upaya untuk memajukan budi pekerti,
pikiran serta jasmani anak, agar dapat memajukan kesempurnaan hidup yaitu hidup
dan menghidupkan anak yang selaras dengan alam dan masyarakatnya.
Menurut Rosseau, Mendidik adalah memberikan pembekalan
yang tidak ada pada masa anak-anak, tapi dibutuhkan pada masa dewasa.
Menurut John Dewey, pendidikan adalah suatu proses
pembaharuan makna pengalaman, hal ini mungkin akan terjadi di dalam pergaulan
biasa atau pergaulan orang dewasa dengan orang muda, mungkin pula terjadi
secara sengaja dan dilembagakan untuk menghasilkan kesinambungan sosial. Proses
ini melibatkan pengawasan dan perkembangan dari orang yang belum dewasa dan
kelompok di mana dia hidup.
Dari beberapa pendapat mengenai pendidikan, maka dapat dirangkum definisi pendidikan sebagai
berikut: pendidikan adalah proses memajukan budi pekerti yang terus menerus
dengan cara memberikan pembekalan kepada seseorang agar bisa hidup dan
menghidupkan anak yang selaras dengan masyarakatnya, sehingga terbentuk kepribadian
yang utama, kebiasaan-kebiasaan, tingkah laku dan sifatnya yang permanen, untuk
menghasilkan kesinambungan sosial.
2. Fungsi Pendidikan
Ada beberapa fungsi pendidikan menurut para pakar
pendidikan, antara lain sebagai berikut:
Menurut Horton dan Hunt, lembaga pendidikan berkaitan
dengan fungsi yang nyata (manifes) berikut:
a.
Mempersiapkan anggota masyarakat untuk
mencari nafkah
b. Mengembangkan bakat perseorangan demi
kepuasan pribadi dan bagi kepentingan masyarakat.
c. Melestarikan kebudayaan.
d.
Menanamkan keterampilan yang perlu bagi
partisipasi dalam demokrasi.
Fungsi laten lembaga pendidikan adalah sebagai berikut.
a. Mengurangi pengendalian orang tua. Melalui
pendidikan, sekolah orang tua melimpahkan tugas dan wewenangnya dalam mendidik
anak kepada sekolah.
b. Menyediakan sarana untuk pembangkangan.
Sekolah memiliki potensi untuk menanamkan nilai pembangkangan di masyarakat.
Hal ini tercermin dengan adanya perbedaan pandangan antara sekolah dan
masyarakat tentang sesuatu hal, misalnya pendidikan seks dan sikap terbuka.
c. Mempertahankan sistem kelas sosial.
Pendidikan sekolah diharapkan dapat mensosialisasikan kepada para anak didiknya
untuk menerima perbedaan prestise dan privilese, dan status yang ada dalam
masyarakat. Sekolah juga diharapkan menjadi saluran mobilitas siswa ke status
sosial yang lebih tinggi atau paling tidak sesuai dengan status orang tuanya.
d.
Memperpanjang masa remaja. Pendidikan
sekolah dapat pula memperlambat masa dewasa seseorang karena siswa masih
tergantung secara ekonomi pada orang tuanya.
Menurut David Popenoe, ada empat macam fungsi
pendidikan yakni sebagai berikut:
a. Transmisi (pemindahan) kebudayaan.
b.
Memilih dan mengajarkan peranan sosial.
c. Menjamin integrasi sosial.
d.
Sekolah mengajarkan corak kepribadian.
e. Sumber inovasi sosial.
C.
MATEMATIKA
1. Definisi Matematika
Matematika berasal dari bahasa Yunani Kuno (máthēma),
yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu yang ruang lingkupnya menyempit,
dan arti teknisnya menjadi pengkajian matematik. Kata sifatnya adalah (mathēmatikós), berkaitan dengan
pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara
khusus, (mathēmatikḗ tékhnē),
di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris seperti juga di dalam
bahasa Perancis les
mathématiques, merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang
cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani (ta mathēmatiká), yang dipakai
Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti “segala hal yang matematis”. Di
dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai “math” di
Amerika Utara dan “maths” di tempat lain.
2. Sejarah Matematika
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu
bertambah banyak, atau dengan kata lain perluasan pokok masalah. Abstraksi pada
awalnya berlaku pada banyak binatang, tentang bilangan: pernyataan bahwa dua
apel dan dua jeruk memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fikika, manusia prasejarah juga
mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu-hari, musim, tahun.
Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti
secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan
bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh
bangsa Inca untuk menyimpan data numerk. Sistem bilangan ada banyak dan
bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah
warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.
Penggunaan terkuno matematika adalah dalam perdagangan, pengukuran tanah,
pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah
berkembang luas hingga tahun 3000 SM, ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno
mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak
dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi dan astronomi. Pengkajian
matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman
Yunani Kuno antara tahun 600 – 300 SM.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi
bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak.
Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga
kini.
3. Keindahan Matematika
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan
kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu
dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji
oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu
sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya
membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.
Beberapa matematika hanya
bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk
memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika
diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak
wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika.
Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih
menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak
ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek
estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya diharga.
4. Notasi Matematika
Sebagian besar notasi matematika
yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16. Pada abad
ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi
yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para
profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang
mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi
informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan
informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
Bahasa matematika dapat
juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki
arti yang lebih presisi daripada di dalam Percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata
semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika
memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para
matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).
Kaku
secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan
maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak
contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini. Tingkat kekakuan diharapkan
di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang
digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang
digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti
formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi
tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu
mungkin saja tidak cukup kaku.
Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi
bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada
tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang
terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh,
tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus
yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatuaksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian,
matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain
kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan
pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke
dalam rumus-rumus teori himpunan.
5. Matematika sebagai Ratu Ilmu
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu
Pengetahuan". Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften,
kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan
berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa
Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah
ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan
alam adalah di masa
terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau
sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.
Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan
sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan
percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper. Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika
menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl
Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti
halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu
matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang
hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal
yang baru. Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu
versipemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian
komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu
pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak
menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka
macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai
ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya,
dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini
terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta
terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu
pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.
Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam
perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan
(seperti di dalam seni) atau ditemukan
(seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini
menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak
seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan
biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi
dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang
diperhatikan di dalam filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari
kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam
matematika adalah Fields Medal (medali lapangan), dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap
empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.
Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada
1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama
lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini
dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau
penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.
6. Bidang-Bidang Matematika
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan
akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan,
untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan
pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur,
ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat
pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari
jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik
dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru
adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
7. Besaran
Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan
itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga
memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui
sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara
bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkap pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap
bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan.
8. Ruang
Pengkajian ruang bermula dengan geometri khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan
iniu untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai
himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan
konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk
mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar
di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum
pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
9. Perubahan
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk
menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep
penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.
Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks.
Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya
berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional
adalah mekanika kuantum.
10. Struktur
Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat
structural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang
mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran,
struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni
perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno
tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.
11. Dasar dan Filsafat
Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar"
mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat
pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an. Beberapa
ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis
dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah
kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan
mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah
bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara
informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah
benar), maka tak-lengkap (maksudnya
terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).
12. Matematika Diskret
Matematika diskret adalah nama lazim
untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis
komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya Mesin turing.
Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa
masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal
menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan
dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada
banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh
karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah
masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.
13. Matematika Terapan
Matematika terapan berkenaan dengan
penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di
dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan
adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan
gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian
pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai
kelompok sekutu.)
D.
FILSAFAT MATEMATIKA
1. Definisi Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar, dan
dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan rekaman
sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di
dalam kehidupan manusia. Sifat logis dan terstruktur dari matematika itu
sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di antara mitra-mitra bahasan
filsafat lainnya.
2. Hubungan Filsafat dengan Matematika
Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain
sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi
bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan
pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus
sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege,
Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang
merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik
oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai
peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf
kemudian mempelajari logika.
Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudian
para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logika
modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat
bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titik
krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnya
persoalan pondasi matematika. Baik matematikawan maupun para filsuf bersama-sama
berkepentingan untuk menelaah apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah
pondasi itu bersifat tunggal atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah
pondasi itu? Jika bersifat jamak maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau
beberapa diantaranya lebih utama atau tidak lebih utama sebagai pondasi?
Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di
dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan
pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam metode
matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang
intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b”
bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis
juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran
dari ingkarannya.
Apakah bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka
ada apakah di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran
kita bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita
bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya?
Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang
“ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya
hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti
universalitas,
E.
FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA
1.
Definisi Filsafat Pendidikan Matematika
Filsafat Ilmu Pendidikan Matematika adalah filsafat yang
menelusuri dan menyelidiki (hakekat pelaksanaan pendidikan matematika yang
bersangkut paut dengan tujuan, latar belakang, cara dan hasilnya. Serta hakekat
ilmu pendidikan matematika yang berkaitan dengan analisis kritis terhadap
struktur dan kegunaannya.) sedalam dan seluas mungkin segala sesuatu
mengenai semua ilmu Pendidikan Matematika, terutama hakekatnya, tanpa melupakan
metodenya. Kerapkali kita lihat ilmu filsafat dipandang sebagai ilmu yang
abstrak dan berada di awang-awang saja, padahal ilmu filsafat itu dekat dan
berada dalam kehidupan kita sehari. Benar, filsafat bersifat tidak konkrit,
karena menggunakan metode berpikir sebagai cara pergulatannya dengan realitas
hidup kita.
2.
Filsafat Ilmu Pendidikan Matematika
Filsafat ilmu pendidikan matematika dapat dibedakan dalam tiga macam yaitu
:
a. Ontologi Ilmu
Pendidikan Matematika
Ontologi adalah teori
mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh
satu perwujudan tertentu. Eksistensi dari entitas-entitas matematika juga
menjadi bahan pemikiran filsafat. Adapun metode-metode yang digunakan antara
lain adalah:abstraksi fisik yang dimana berpusat pada suatu obyek, Abstrksi
bentuk adalah sekumpulan obyek yang sejenis, Abstraksi metafisik adalah sifat
obyek yang general. Jadi, matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek
ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang yang
cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin
ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang
nyata secara fundamental.
b. Epistemologi
Matematika
Epistemologi merupakan
salah satu bagian dari filsafat dimana pemikiran reflektif terhadap segi dari
pengetahuan seperti kemungkinan, asal-mula, sifat alami, batas-batas, asumsi
dan landasan, validitas dan reliabilitas sampai kebenaran pengetahuan. Jadi,
matematika jika ditinjau dari aspek epistemologi, matematika mengembangkan
bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara
kuantitatif. Dengan konsep-konsep yang kongkrit, kontektual, dan terukur
matematika dapat memberikan jawaban secara akurat. Perkembangan struktur mental
seseorang bergantung pada pengetahuan yang diperoleh siswa melalui proses
asimilasi dan akomodasi.
c. Aksiologi
Matematika
Aksiologi yaitu
nilai-nilai, ukuran-ukuran mana yang akan dipergunakan dalam seseorang
mengembangkan ilmu. Aksiologi : Filsafat nilai, menguak baik buruk, benar-salah
dalam perspektif nilai Aksiologi matematika sendiri terdiri dari etika yang
membahas aspek kebenaran, tanggungjawab dan peran matematika dalam kehidupan,
dan estetika yang membahas mengenai keindahan matematika dan implikasinya pada
kehidupan yang bisa mempengaruhi aspek-aspek lain terutama seni dan budaya
dalam kehidupan. Jadi, jika ditinjau dari aspek aksiologi, matematika seperti
ilmu-ilmu yang lain, yang sangat banyak memberikan kontribusi perubahan bagi
kehidupan umat manusia di jagat raya nan fana ini. Segala sesuatu ilmu di dunia
ini tidak bisa lepas dari pengaruh matematika. Dimulai dengan pertanyaan dasar
untuk apa penggunaan pengetahuan ilmiah? Apakah manusia makin cerdas dan
makin pandai dalam mencapai kebenaran ilmiah,maka makin baik pula perbuatanya ?
Dalam hal ini sama saja dengan semua pendidikan salah satunya Filsafat Ilmu
Pendidikan Matematika. Filsafat Ilmu Pendidikan Matematika berkembang sesuai
dengan peranannya, merupakan landasan filosofis yang menjiwai seluruh
kebijaksanaan dan pelaksanaan pendidikan Matematika.
Artikel Kajian Pendidikan Matematika Menurut Teori
Filsafat